郑磊/文
人类文明是伴随着语言、文字和数字一起发展的。在语言诞生之前，表情和动作曾经是沟通的手段，而数字可能来自计数的需要。古人类即使不需要与人沟通，也需要数数，因此早在37000年前就发现了人类刻在木棒、石板上的用来计数的刻痕。从计数到数字，再到进位制、代数、几何，一直到近代数学，这是人类大脑发育的另一条主线。很多人都害怕数学，这不奇怪，因为几万年发展出的这个知识体系，很多人并不需要全部掌握，满足人类基本日常需要的数学概念和方法并不多。如果要对数学这个体系有个笼统的了解，建议阅读《极简数学史》这本小册子，其最大特点是“简”到每章只有3-5页，里面还配了大量彩图和历史小知识，生动有趣，能够基本满足普通读者了解数学概貌的需求。在读完这本小书之后，如果还有兴趣的话，我推荐另一本由数学史专家莫里斯·克莱因撰写的更全面、更专业的《数学简史：确定性的消失》。
大家可能已经很难记起小时候学算术遇到的困难了，但是在幼童时期，人已经有了数量多少的概念，然后大人会教小孩先用5个手指理解1-5对应的物品，而数字其实是抽象的，从具体数量的物品到适用一切物品的可以独立使用的数字1-5，是一个认知跨越。然后幼儿又学会了数6-10，正好可以用两只手来计数。这就为学习十进制打好了基础，然后学习两位数加法、减法，九九乘法表。现在的幼儿教育很发达，而在几十年前，小学二三年级才能学会这些简单的算术知识。这个过程只是现代人继承古人很早以前发明的东西，可以想象先民在几千年前遇到的难度更大。数学发展最快的地区也是人类文明起源最早的地区，在两河地区，苏美尔人在公元前4000年就开始使用六十进制了，最巧妙的是，他们只使用了7个符号。至今人们找不到六十进制在日常生活中的参照物，唯一知道的是当时的古巴比伦已经是农业和商业最发达的地区。在它的附近，古希腊、古埃及，以及古人类迁移较早到达的印度地区都出现了高超的数学大师，比如毕达哥拉斯、泰勒斯、花剌子模、婆罗摩笈多等。阿拉伯数字也来自印度。古埃及人很早就知道如何解一元一次方程，古巴比伦人已经能够解出二次方程和三次方程。
从具象的物品到抽象的数字需要几万年时间，又经过了近千年，才跨越到用字母表示的抽象代数运算的阶段。阿拉伯数学家、天文学家、地理学家Alkhwarizmi发明了移项与合并同类项，在这个基础上他撰写了一本现在称作Algebra的书。有趣的是这位数学家的名字经过各种语言转译，在英语里写作ALGORITHM，也就是我们常说的“算法”一词。ALGEBRA（代数学）在西班牙语里加了一个代表职业的后缀ista，变成ALGEBRISTA，指的却是“接骨师”，倒是与移项有异曲同工之妙。作者用非常通俗易懂的话寥寥数笔就基本解释了一种数学方法，比如傅里叶分析被说成是将任何复杂波形分解为各种正弦波的过程。只要学过一些初等数学都能够理解。
对于空间的认知，显然也属于数学发展的范畴。一维到三维都很容易理解，其实人类生活在四维空间里，人类能够感知时间以及事物随时间的变化，这就是四维的认知。维度N大于4的空间就只能依靠推理了。人们依靠降维方法理解高维空间。比如在给定的时间，你可以得到一个三维的物品，你可以切开它，观察剖面，这是二维的，还可以用尺子在这个面上画一条线，得到一维图像，这个过程经过了三次降维。立体几何习题也是通过降维变成平面几何题才能进行求解。
随机性是另一个较深奥的数学概念，需要先学习排列组合知识，这也是数学考试最容易出错的部分。概率论的大数定律和中心极限定理都很抽象，但是作者用抛掷硬币简单地给出了一个大家都知道的结果：抛的次数越多，正反两面出现的次数越接近对半。而对于一个方差有限的总体，你随机抽取的样本数量越大，样本的分布图形越类似对称的钟形曲线，用样本计算的平均值越接近总体均值。而作者给出的经验是抽样数量应该不少于30个。这个小知识很有用，如果你想知道一大堆物品的某个指标的平均值，只需要随机从中抽取不少于30个样品进行测量，画出分布曲线，算出平均值，基本就可以掌握这个情况了。数学很难，但是每个人都应该懂一些基本的知识。
（作者：郑磊 ）
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